El rompecabezas de un niño ayudó a descubrir cómo funcionan realmente los imanes
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El rompecabezas de un niño ayudó a descubrir cómo funcionan realmente los imanes
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El rompecabezas de un niño ayudó a descubrir cómo funcionan realmente los imanes
Por unos pocos meses en 1880, franjas enteras de los Estados Unidos sucumbieron a una adicción como la de nunca había sido visto. "Se ha convertido literalmente en una epidemia en todo el país", escribióLas Noticias Semanales-Demócratas en Emporia, Kansas, el 12 de marzo de 1880. "Ciudades enteras se distraen, y los hombres están perdiendo el sueño y volviéndose locos por ello". La epidemia se extendió a Europa y hasta Australia y Nueva Zelanda.
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Historia original reimpreso con permiso de Quanta revista, una publicación editorial independiente de la Fundación Simons cuya misión es mejorar la comprensión pública de la ciencia cubriendo los desarrollos de investigación y las tendencias en matemáticas y ciencias físicas y de la vida.
La enfermedad era una nueva obsesión: un juego mecánico frustrantemente simple llamado 15-puzzle. Todavía familiar hoy en día, consiste en una cuadrícula de cuatro por cuatro en la que se deslizan 15 casillas numeradas alrededor, tratando de poner los números en secuencia.
El juego parece pintoresco para los estándares de hoy, pero en 1880 fue toda la rabia. "Ningún niño es demasiado pueril para estar por debajo de sus poderes de entretenimiento, y ningún hombre es demasiado vigoroso o está en una posición demasiado alta". para escapar de su fascinación," la Noticias-demócrata escribió *. * La frustración, tal vez, se debió al hecho matemáticamente comprobado de que solo la mitad de las configuraciones de rompecabezas son solucionables (probablemente desconocidas para los adictos).
Ahora, casi 140 años después, el rompecabezas 15 vuelve a ser interesante, esta vez no como una distracción, sino como una forma de entender un rompecabezas aparentemente no relacionado y mucho más complejo: cómo funcionan los imanes.
Los imanes permanentes como los de su refrigerador son magnéticos debido a un fenómeno llamado ferromagnetismo. En un ferromagneto, los espines de los electrones se alinean, generando colectivamente un campo magnético. Más específicamente, metales como el hierro, el cobalto y el níquel demuestran ferromagnetismo itinerante, lo que se refiere al hecho de que sus electrones pueden moverse libremente dentro del material. Cada electrón también tiene un momento magnético intrínseco, pero entender exactamente cómo y por qué todos esos momentos magnéticos se alinean en un imán exige calcular el interacciones cuánticas Entre todos los electrones, que es prohibitivamente complejo.
"El ferromagnetismo itinerante es en realidad uno de los problemas más difíciles en la física de la materia condensada teórica", dijo Yi Li, un físico en la Universidad Johns Hopkins.
Pero Li y dos estudiantes graduados, Eric Bobrow y Keaton Stubis, pueden estar un poco más cerca de resolver el problema. Usando las matemáticas del rompecabezas de 15, expandieron un conocido teorema que describe un caso idealizado de ferromagnetismo itinerante. En su nuevo análisis, publicado en la revista. Revisión física B, amplían el teorema para explicar un sistema más amplio y más realista, lo que podría conducir a un modelo más riguroso de cómo funcionan los imanes. "Este es un hermoso papel", dijo Daniel Arovas, un físico de la Universidad de California, San Diego. "Especialmente porque los resultados rigurosos para el caso de los ferromagnetos itinerantes son bastante escasos, me gusta mucho este trabajo".
Salto del agujero
En el nivel más básico, los electrones en un metal tienen que cumplir con dos grandes restricciones. Primero, todos están cargados negativamente, por lo que todos se repelen entre sí. Además, los electrones deben obedecer el llamado principio de exclusión de Pauli, que establece que no hay dos partículas que puedan ocupar el mismo estado cuántico. Esto significa que los electrones con la misma propiedad de "giro", que es proporcional al momento magnético del electrón, no pueden ocupar el mismo estado cuántico alrededor de un átomo en el metal. Dos electrones con espines opuestos, sin embargo, pueden. Resulta que la forma más fácil para que un conjunto de electrones que se mueven libremente satisfaga tanto su repulsión mutua como las restricciones del principio de exclusión de Pauli es que se mantengan separados y que sus espines se alineen, y se conviertan así en ferromagnéticos.
Lucy Reading-Ikkanda / Quanta Magazine
Pero esto es sólo un boceto simplificado. Lo que los físicos eludidos es un modelo detallado de cómo un patrón organizado de giros alineados emerge de la innumerables interacciones cuánticas Entre los electrones individuales. Por ejemplo, explicó Li, la función de onda de un electrón, la compleja descripción matemática de sus propiedades cuánticas, puede enredarse con la función de onda de otro electrón. Para comprender completamente cómo el comportamiento de las partículas individuales conduce al fenómeno colectivo del ferromagnetismo, necesitaría realizar un seguimiento de la función de onda de cada electrón en un sistema, ya que remodela continuamente la función de onda de los demás electrones a través de sus interacciones mutuas. En la práctica, este enredo generalizado hace que las ecuaciones completas y rigurosas necesarias para describir el ferromagnetismo sean imposibles de escribir.
En cambio, los físicos como Li están tratando de obtener una perspectiva mediante el estudio de modelos idealizados más simples que capturan la física subyacente del ferromagnetismo. En particular, su trabajo reciente se expande en un descubrimiento importante que se realizó hace más de 50 años.
A mediados de la década de 1960, dos físicos que venían de lados opuestos del globo obtuvieron de manera independiente una prueba que explicaba por qué los electrones deberían alinearse y crear un estado ferromagnético. David Thouless, un físico de la Universidad de Cambridge que pasaría a gana el premio Nobel en 2016Y Yosuke Nagaoka, un físico que visitó la Universidad de California en San Diego, de la Universidad de Nagoya en ese momento, publicó sus pruebas en 1965 y 1966, respectivamente. Su resultado, denominado teorema de Nagaoka-Thouless (también teorema de Nagaoka), se basa en un sistema idealizado de electrones en una red atómica. Entonces, si bien no explicó los imanes del mundo real, fue sin embargo importante porque mostró, por primera vez, en principio por qué los espines de los electrones deberían alinearse. Y debido a que sus análisis eran pruebas matemáticas, eran exactos, cargados de las aproximaciones típicas de la física.
Para entender el teorema, imagine una celosía cuadrada bidimensional. Cada vértice puede acomodar dos electrones de espines opuestos, pero el teorema asume que requeriría una cantidad infinita de energía para que dos electrones ocupen un solo sitio. Esto asegura que solo un electrón reside en cada ranura. En esta configuración, cada electrón puede girar hacia arriba o hacia abajo. No tienen que estar alineados, por lo que el sistema no es necesariamente ferromagnético.
Jon Schroeder / Universidad Johns Hopkins
Ahora quita un electrón. Lo que queda es una vacante llamada agujero. Un electrón adyacente puede deslizarse dentro del agujero, dejando atrás otra vacante. Otro electrón puede deslizarse hacia la nueva abertura y dejar otro agujero nuevo. De esta manera, el agujero efectivamente salta de un sitio a otro, moviéndose alrededor de la celosía. Thouless y Nagaoka descubrieron que en este escenario, con la adición de un solo agujero, los electrones se alinearían espontáneamente. Esto fue, demostraron, el estado de menor energía, uno que es ferromagnético.
Para que el sistema se encuentre en el estado de menor energía, explicó Arovas, el agujero debe estar libre para moverse sin alterar la configuración de los giros de electrones, un proceso que requeriría energía adicional. Sin embargo, a medida que el agujero se mueve, los electrones también se mueven alrededor. Para que los electrones se muevan sin alterar la configuración de los giros, los electrones deben estar alineados.
"El teorema de Nagaoka es uno de los pocos ejemplos con los que puedes probar matemáticamente los casos de ferromagnetismo", dijo Masaki Oshikawa, un físico de la Universidad de Tokio. "Pero desde el punto de vista de la física, es muy artificial".
Por ejemplo, cuesta mucho energía que dos electrones superen su repulsión mutua y se establezcan en el mismo sitio, pero no energía infinita, como exige el teorema. La imagen de Nagaoka-Thouless también se aplica a las celosías simples: celosías bidimensionales de cuadrados o triángulos, o celosía cúbica tridimensional. En la naturaleza, sin embargo, el ferromagnetismo surge en muchos metales con todo tipo de estructuras. Si el teorema de Nagaoka-Thouless realmente explica el ferromagnetismo, entonces debería aplicarse a todas las redes. La gente asumió que este era probablemente el caso, dijo Li. "Pero nadie realmente dio una prueba clara". Es decir, hasta ahora.
Azulejos Spin
En 1989, Hal Tasaki, físico de la Universidad de Gakushuin en Japón, extendió el teorema en cierto modo, encontrar que se aplicaría siempre que una red tenga una propiedad matemática llamada conectividad. Tomemos el caso simple de una celosía cuadrada con un agujero móvil. Si, después de mover el orificio alrededor, puede crear cada configuración de giros al tiempo que conserva el número de electrones giratorios y reducidos, entonces se cumple la condición de conectividad.
Pero aparte de las celosías cuadradas y triangulares y la cúbica tridimensional, no estaba claro si la condición de conectividad se cumpliría en otros casos, y por lo tanto si el teorema se aplica de manera más general.
¿Cómo surgen espontáneamente de los sistemas de elementos mucho más simples fenómenos emergentes extraordinariamente complejos, como las hormigas que se ensamblan en puentes vivos, o pequeñas moléculas de agua y aire que se convierten en huracanes en remolino? La respuesta a menudo depende de una transición en la interacción entre los elementos que se asemeja a un cambio de fase.
Para abordar esta pregunta, Li comenzó centrándose en el enrejado de panal de seis caras. Mientras sus estudiantes, Bobrow y Stubis, trabajaban en el problema, se dieron cuenta de que se parecía a la obsesión del siglo XIX: el rompecabezas de 15. Simplemente intercambie las etiquetas en los mosaicos de números a giros hacia arriba o hacia abajo, y el rompecabezas se convierte en equivalente a un Ferromagnet Nagaoka, con un agujero que se mueve a través de una red de electrones.
El rompecabezas se resuelve cuando puede reordenar los mosaicos para hacer cualquier secuencia que desee, que es precisamente el significado de la condición de conectividad. Por lo tanto, si la condición de conectividad se cumple para una red determinada se convierte en una cuestión de si se puede resolver un rompecabezas equivalente con esa estructura de red.
Resulta que en 1974, un matemático llamado Richard Wilson, ahora en el Instituto de Tecnología de California, lo había descubierto, Generalizando y resolviendo el 15-puzzle. Para todas las celosías. Como parte de su prueba, demostró que para casi todas las celosías no separables (que son aquellas cuyos vértices permanecen vinculados incluso después de eliminar un vértice), podría deslizar los mosaicos y obtener la configuración que desee, siempre que haga un número par de movimientos. Las únicas excepciones son los polígonos individuales más grandes que un triángulo, y algo llamado gráfico 0 ("theta cero"), en el que un vértice en el centro de un hexágono está conectado a dos vértices opuestos.
Los investigadores luego podrían aplicar directamente los resultados de la prueba de Wilson al teorema de Nagaoka-Thouless. Para un sistema de electrones y un solo orificio, demostraron que la condición de conectividad se cumple para casi todas las celosías, incluidas las estructuras comunes como el panal bidimensional y las celosías diamantadas tridimensionales. Las dos excepciones, los polígonos más grandes que un triángulo y la gráfica de 0, no son estructuras que se encontrarían en un ferromagnético realista de todos modos.
Explosión de agujero
Usar el rompecabezas de 15 es un enfoque fresco y potencialmente fructífero, dijo Sriram Shastry, un físico de la Universidad de California, Santa Cruz. "Me gusta el hecho de que trajeron un nuevo lenguaje, un nuevo conjunto de conexiones con la teoría de grafos", dijo. "Creo que la conexión es rica: puede ser una fuente rica de ideas en el futuro". Pero mientras el estudio da un paso significativo hacia adelante, los problemas continúan.
Una complicación es que el teorema de Nagaoka-Thouless no siempre funciona cuando el agujero en movimiento tiene que dar un número impar de pasos a medida que gira alrededor de una celosía, dijo Shastry. Quizás el problema más evidente, sin embargo, es que el teorema requiere la presencia de exactamente un agujero, ni más ni menos. En los metales, sin embargo, los agujeros son abundantes, a menudo llenando la mitad de la celosía.
Pero los físicos han intentado generalizar el teorema a sistemas de múltiples agujeros. Utilizando cálculos numéricos, físicos. han demostrado ese ferromagnetismo de Nagaoka parece funcionar para una red cuadrada de tamaño finito que está llena de agujeros hasta en un 30 por ciento. En el documento actual, los investigadores aplicaron técnicas analíticas exactas a la red de panal de dos dimensiones y la red de diamante tridimensional. El ferromagnetismo de Nagaoka parece existir siempre que el número de orificios sea menor que el número de sitios de celosía elevado a la potencia 1/2 para el panal, o la potencia 2/5 para el diamante. Estas soluciones exactas podrían llevar a un modelo más completo de ferromagnetismo itinerante. "Este es solo un pequeño paso hacia adelante para establecer un punto de partida matemático riguroso para futuros estudios", dijo Li.
Historia original reimpreso con permiso de Quanta revista, una publicación editorial independiente de la Fundación Simons cuya misión es mejorar la comprensión pública de la ciencia cubriendo los desarrollos de investigación y las tendencias en matemáticas y ciencias físicas y de la vida.
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